DEFINICIÓN SENO Y COSENO

MODELO I : Las funciones trigonométricas $\sin $ y $\cos$ son definidas a partir de un círculo unitario. El $\cos x$ y $\sin x$, son las coordenadas del punto sobre la circunferencia resultantes de la intersección el segmento, que sale del origen y forma una ángulo de magnitud $x$ (radianes) con el eje positivo de $X$. Es inmediata entonces la llamada identidad pitagórica \begin{align*} \sin ^2 x + \cos^2 x=1 \end{align*} Por otro lado si grafica el ángulo $-x$, obtendrá que \begin{align*} \sin (-x) &= -\sin x \\ \cos (-x) &= \cos x \end{align*} Si $x=0$, entonces el segmento queda sobre el eje horizoltal, por lo que $\cos 0=1$ y $\sin 0=0$. Con éste modelo y recordando que $\frac{\pi}{2}$ equivale a 90º, ¿cuanto sería $\cos (\frac{\pi}{2})$?

MODELO II : Este otro modelo referente a las funciones trigonométricas, se basa en los cocientes de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. \begin{align*} \sin A &= \frac{\textrm{Cateto opuesto a A}}{\textrm{Hipotenusa}} \\ \cos A &= \frac{\textrm{Cateto adyacente a A}}{\textrm{Hipotenusa}} \\ \end{align*}
En base a éstas, se definen otras funciones: \begin{align*} \tan A&= \frac{\sin A}{\cos A}\\ \sec A&= \frac{1}{\cos A}\\ \end{align*} Además \begin{align*} \csc A &= \frac{1}{\sin A}\\ \cot A &= \frac{1}{\tan A} \end{align*} Aquí la identidad pitagórica es consecuencia del teorma de pitágoras.
La educación media y media superior usa por defecto éste último modelo.

MODELO III : Ahora bien, la riqueza en propiedades de las funciones trigonométricas es extensa y con tales definiciones es imposible formalizarlas. Por ende, fue necesario visulizarlas de otra manera. La otra definición también se basa en un círculo unitario. Si $x$ es un número, los valores asignados a $\sin x$ y $\cos x$ son las coordenadas del punto sobre la circunferencia que determina un sector cuya área (teñida de verde) es $\frac{x}{2}$. Casualmente, bajo estas condiciones, el arco sobre la circunferencia determinado por el area verde mide $x$. La ventaja del modelo, radica en que, el área verde se puede poner como una función $A(x)$.
Es notable la dificultad resultante. La formalidad a través de la cual se trabaja la función área $A(x)$, conlleva el uso de herramienta matemática especializada: derivadas e integrales. Sin embargo, con relativa facilidad, se logra obtener sus derivadas: \begin{align*} (\sin x)' &=\cos x\\ (\cos x)' &= -\sin x\\ \end{align*} Con esta teoría y depués de un arduo proceso se obtiene la identidad $$\sin (x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x. \nonumber$$

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Los tres modelos aportan elementos para la obtención de las identidades. El modelo III construye \eqref{IV} "limpiamente". Algunos libros, por ejemplo usan ésta para obtener la derivada del $\sin x$, pero no nos dicen como obtener \eqref{IV}.

Si quieres saber más sobre:

MODELO I : Leithold Louis, El Cálculo (7ª ed), Oxford University Press, México, 1998.
MODELO II : Cualquier libro de trigonometría te servirá.
MODELO III : Spivak Michael, Cálculo Infinitesimal(2ª ed), Reverté, México, 1996.

\begin{align} \label{sendoble} \sin 2x= 2\sin x \cos x \end{align}

SOLUCIÓN

Es sencilla, solo en \eqref{IV}, en lugar de $y$ coloque $x$ \begin{align} \sin (x+y) &= \sin x\cos y+\sin y\cos x \\ \sin (x+x) &= \sin x\cos x+\sin x\cos x \\ \sin 2x &= 2 \sin x\cos x \end{align}

\begin{align}\label{senresta} \sin (x-y)=\sin x\cos y-\sin y\cos x \end{align}

SOLUCIÓN

\begin{align*} \sin (x-y) &=\sin (x+(-y)) = \sin x\cos (-y)+\sin (-y)\cos x\\ &=\sin x\cos y-\sin y\cos x\\ &=\sin x \cos y -\sin y \cos x\\ \end{align*}

\begin{align} \label{cossuma} cos(x+y)=\cos x \cos y-\sin x\sin y \end{align}

SOLUCIÓN

Se utiliza \eqref{IV}. Se tiene que considerar una de las dos variables, $x$ ó $y$ como constantes y derivar. Yo tomaré a $y$ como constante. Asi que derivaré $\sin(x+y)$, con respecto a $x$. \begin{align} \bigg[ \sin(x+y) \bigg]' &= \bigg[ \sin x\cos y+\sin y\cos x \bigg]' \\ &= \cos x \cos y + \sin y (-\sin x)\\ &=\cos x \cos y - \sin y \sin x \end{align} Por otro lado $$\bigg[ \sin(x+y) \bigg]'= \cos (x+y),$$ por lo tanto $$\cos (x+y)=\cos x \cos y - \sin y \sin x$$

\begin{align}\label{cosdoble} \cos 2x= \cos ^2x-\sin ^2x \end{align}

SOLUCIÓN

Es una consecuencia de la identidad \eqref{cossuma}. Si $y=x$ en \eqref{cossuma} \begin{align*} \cos (x+y) &=\cos x \cos y - \sin y \sin x \\ \cos (x+x) &=\cos x \cos x - \sin x \sin x \\ \cos 2x &=\cos ^2 x - \sin^ 2 x \\ \end{align*}

\begin{align} \sin ^2 x= \frac{1-\cos 2x}{2} \end{align}
SOLUCIÓN

Despejando $\cos^2 x$ en la identidad pitagórica \eqref{I}, resulta que $\cos^2 x=1- \sin ^2 x$. Ahora sustituya $\cos^2 x$ en la identidad \eqref{cosdoble} \begin{align} \cos 2x &=\cos ^2 x - \sin^ 2 x\\ &= 1- \sin^2 x - \sin^2 x \\ &=1-2\sin^2 x\\ \end{align} en consecuencia \begin{align} 1-2\sin^2 x &= \cos 2x \\ -2\sin^2 x &= -1+ \cos 2x \\ 2\sin^2 x &= 1- \cos 2x \\ \sin^2 x &= \frac{1- \cos 2x}{2} \end{align}

\begin{equation} \displaystyle \tan (x+y)= \frac{\tan x +\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{equation}
SOLUCIÓN

De la definición de tangente \begin{align*} \tan (x+y) &= \frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)} \\ \end{align*} Debido a \eqref{cossuma} y \eqref{IV} \begin{align*} \tan (x+y) &= \frac{\sin (x+y)}{\cos (x+y)} \\ &=\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{ \cos x \cos y - \sin y \sin x} &= \frac{\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x \cos y }}{ \frac{ \cos x \cos y - \sin y \sin x}{\cos x \cos y }} \\ &= \frac{ \frac{\sin x\cos y}{\cos x \cos y } + \frac{\sin y\cos x}{\cos x \cos y} }{ \frac{\cos x \cos y }{\cos x \cos y} - \frac{\sin y \sin x}{\cos x \cos y} } \\ &=\frac{\tan x +\tan y}{1-\tan x \tan y} \end{align*}

\begin{align*} \sin mx \cos nx =\frac{1}{2} \bigg[ \sin(m-n)x + \sin(m+n)x \bigg] \end{align*} SOLUCIÓN

Una identidad que resulta de \eqref{senresta} y \eqref{IV}. \begin{align} \sin (m-n)x &= \sin (mx-nx)\\ &=\sin mx \cos nx - \sin nx \cos mx\\ \end{align} Por otro lado \begin{align} \sin (m+n)x &= \sin (mx+ nx)\\ &= \sin mx \cos nx + \sin nx \cos mx \end{align} A continuación sumanos \begin{align} \sin (m-n)x + \sin (m+n)x &= 2 \sin mx \cos nx \\ \end{align} Entonces \begin{align} \sin mx \cos nx &= \frac{1}{2} [ \sin (m-n)x + \sin (m+n)x ] \\ \end{align}